4 回溯法(DFS)

4.1 基本概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的,规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。

4.2 基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。

若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。

4.3 解题步骤

① 针对所给问题,确定问题的解空间:首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解;

② 确定结点的扩展搜索规则;

③ 以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4.4 算法框架

(1)问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件,记为f(ai)。

(2)非递归回溯框架

int a[n],i;	
初始化数组a[];	
i = 1;	
while(i>0(有路可走) and (未达到目标)) //还未回溯到头	
{	
    if(i > n) //搜索到叶结点	
    {	
        搜索到一个解,输出;	
    }	
    else //处理第i个元素	
    {	
        a[i]第一个可能的值;	
        while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)	
        {	
            a[i]下一个可能的值;	
        }	
        if(a[i]在搜索空间内)	
        {	
            标识占用的资源;	
            i = i+1; //扩展下一个结点	
        }	
        else	
        {	
            清理所占的状态空间; //回溯	
            i = i–1;	
        }	
    }
}	
    

(3)递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索,在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单,其中i为搜索的深度,框架如下:

int a[n];	
try(int i)	
{	
    if(i>n)	
        输出结果;	
    else	
    {	
        for(j =下界; j <= 上界; j=j+1) //枚举i所有可能的路径	
        {	
            if(fun(j)) //满足限界函数和约束条件	
            {	
                a[i] = j;	
                ... //其他操作	
                try(i+1);	
                回溯前的清理工作(如a[i]置空值等);	
            }	
        }	
    }	
}